Regresión Polinómica
Algunos fenómenos resultan ser mejor representados por un polinomio y aunque a veces puede no ser particularmente "natural", es decir, aquella que expresa una relación de causa y efecto entre las variables; sin embargo, es tan flexible y tan fácilmente manejable en forma matemática, que resulta de gran utilidad.
El problema consiste en encontrar los coeficientes de los términos en las ecuaciones, que darán un polinomio que cumplirá el requisito de que la suma de cuadrados sea mínima. Para esto se hará uso de las "ecuaciones normales". Se necesitara tantas ecuaciones como coeficientes haya, o una mas que el grado de la ecuación que se quiera ajustar.
Las ecuaciones normales son:
Los puntos suspensivos sugieren la posibilidad de expandir las formulas siguiendo el mismo patrón. Como ilustración se correrá un ejemplo ajustando la curva a tercer grado (cúbica).
Respuesta a la Fertilización Nitrogenada en palmas de vivero (Datos hipotéticos) x = g de N y = Long. de la hoja
| x | y | y2 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | xy | x2y | x3y |
| 0 | 27.4 | 750.8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 39.3 | 1544.5 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 157.2 | 628.8 | 2515.2 |
| 7 | 46.2 | 2134.4 | 49 | 343 | 2401 | 16807 | 117649 | 323.4 | 2263.8 | 15846.6 |
| 10 | 47.8 | 2284.8 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 | 1000000 | 478.0 | 4780 | 47800 |
| 13 | 44.5 | 1980.3 | 169 | 2197 | 28561 | 371293 | 4826809 | 578.5 | 7520.5 | 97766.5 |
| 18 | 24.5 | 600.3 | 324 | 5832 | 104976 | 1889568 | 34012224 | 441.0 | 7938 | 142884 |
| 52 | 229.7 | 9295 | 58 | 9436 | 146194 | 2378692 | 39960778 | 1978.1 | 23131.1 | 306812 |
Sustituyendo los valores observados se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones :
6a + 52b
+ 658c + 9436d
= 229.7
A
52a + 658b + 9436c
+ 146194d = 1978.1
B
658a + 9436b + 146194c + 2378692d = 23131.1
C
9436a + 14194b + 2378692c + 39960778d = 306812.3 D
Para resolver, primero se eliminara a: Multiplicando la ecuación B por 6 y la ecuación A por 52 y sacando la diferencia se tiene :
1244 + 22400c + 386492d = -75.8 E
La ecuación C multiplicada por 6, menos la A multiplicada por 658, da :
22400b + 444200c + 8063264d = -12356 F
La ecuación D multiplicada por 6, menos la ecuación A multiplicada por 9436, da :
386492b + 8063264c + 150726572d = -326575.4 G
Ahora se eliminara b.
La ecuación F multiplicada por 1244 menos la ecuación E multiplicada por 22400, da :
50824800c + 1373279616d = -13672944 H
La ecuación G multiplicada por 1244 menos la ecuación E multiplicada por 386492 da:
1373279616c + 38127789500d = -276963704 I
Ahora se procede a eliminar c.
La ecuación H multiplicada por 1373279616 menos la ecuación I multiplicada por 50824800 y dividiendo ambos miembros entre 10000000 para simplificar las cifras, resulta:
5194037206d = -38232948
d
= -0.00736
Sustituyendo d en la ecuación H y resolviendo:
50824800c + 1373279616 (-0.00736) = -13672944
50824800c
- 10107337.97 = -13672944
50824800c
= -13672944 + 10107337.97
c
= -35655606 /50824800
c
= -0.07015
Sustituyendo d y c en la ecuación E y resolviendo :
1244b + 22400 (-0.07015) + 386492 (-0.00736) = -75.8
1244b - 1571.4 - 2844.6 = -75.8
1244b
= -75.8 + 1571.4 + 2844.6
b
= 4340 /1244
b
= 3.4889
Y finalmente sustituyendo b, c y d en la ecuación A se tiene:
6a + 52(3.4889)+658(-0.07015) + 9436 (-0.00736) = 229.7
6a + 181.4 - 46.158 - 69.449 = 229.7
6a = 229.7 - 181.4 + 46.158 + 69.449
a = 163.907 /6
a = 27.318
Y entonces el polinomio quedaría así :
y = 27.318 + 3.4889X - 0.07015X2 - 0.00736X3
Para facilitar el cálculo de la suma de cuadrados conviene definir las siguientes variables :
La suma de cuadrados de la regresión y totales se define así :
SCR = 3.4888 (-12.63)+(-0.07015)(-2059.33)+(-0.00736)(-54429.23)
= -44.06 + 144.46 + 400.6
= 501
SCT = 9295.03 - (229.7)2/6
= 501.35
El coeficiente de determinación es :
R2 = SCR/SCT = 501/501.35 = 0.999
Lo que significa un ajuste casi perfecto.