Regresión Múltiple

Es cuando se relacionan 2 o más variables (x) con la variable dependiente (y). La idea es conocer que cambio de y esta asociado con cambios unitarios de las variables independientes. La ecuación general para contestar esta pregunta es:

Los términos b₁, b₂, b_k reciben el nombre de regresión parcial. La ecuación mejor ajustada de esta forma será aquella que haga mínima la suma de cuadrados de la desviaciones de las Y observados y de las Y estimadas.

Para encontrar los respectivos componentes de la ecuación se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Los puntos suspensivos indican la posibilidad de ampliar estas ecuaciones para incluir a más de tres variables.

Los cálculos pueden reducirse considerablemente transformando cada valor en una desviación respecto a su media.

Así:

Como la suma de las desviaciones de cualquier conjunto de valores respecto a su media es cero, desaparecen la primera ecuación y los términos que contienen a b_o de las otras ecuaciones.

El planteamiento así modificado quedaría:

Ejemplo numérico:

Y sustituyendo estos valores en las ecuaciones respectivas se tiene:

34.93 b₁ + 257.4 b₂ = 272.27 

257.4 b₁ + 2241.6 b₂ = 2368.4 

Multiplicando el coeficiente del primer término de la segunda ecuación por la primera ecuación y el coeficiente del primer término de la primera ecuación por la segunda ecuación y obteniendo la diferencia se tiene.

8990b₁   +  78299.09b₂  =  82728.21

8990b₁   +       66254b₂   =  70082.30
                                                                       

                    12045.09b₂ = 12645.91

Y por lo tanto b₂ = 12645.91/12045.09 = 1.05

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones se tiene:

34.93b₁ + 257.4(1.05) = 272.27
34.93b₁ = 272.27 - 270.24
b₁ = 2.03/34.93
b₁ = 0.06

b₀ = Y - b₁X₁ - b₂X₂
b₀ = 37.27-(.06)(1.93)-(1.05)(33.4)
b₀ = 2.08

Y entonces la ecuacion de regresion multiple para el ejemplo

es :

Y = 2.08 + 0.06X₁ + 1.05X₂

El coeficiente de determinacion R² se obtiene a partir de la fórmula :

         R²=  Suma de cuadrados de la Regresión
                     Suma de cuadrados total

SC Reg = (0.06)(272.27) + (1.05)(2368.4) = 2503.16

SC Tot. = 23775 - (559)2/15 = 2942.93

R² = 2503.16/2942.93 = 0.85

Con la información obtenida hasta el momento es fácil construir la tabla de análisis de varianza y determinar si la regresión en conjunto es significativa.

Anova para la regresión múltiple:

La suma de cuadrados se obtiene por diferencia residual.

Que para el ejemplo seria :

Anova regresión Múltiple

Y consultando la tabla de F con 2 grados de libertad en el numerador y 12 en el denominador se ve que es significativa a 0.001. Por lo tanto se concluye que la regresión explica una proporción significativa de la variación en Y.